a·X^x   +   b·Y^x   =   c·Z^x       (x   ∞)

Fermat’s Last Theorem

Định lý sau cùng của Fermat (Fermat’s Last Theorem) được phát biểu:

“không có giá trị nguyên x, y, z nghiệm đúng phương trình  xⁿ + yⁿ = zⁿ   với n > 2”

Chỉ có vậy thôi, nhưng các nhà Toán học phải mất trên 360 năm, đã gây nhiều sóng gió trong cộng đồng Toán học, người thì binh vực Pierre de Fermat, người lại chống cho rằng Pierre de Fermat không có chứng minh, hoặc Fermat có chứng minh, nhưng sai, nên ông hủy bỏ toàn bộ tài liệu chứng minh, do đó suốt 360 năm không ai tìm ra manh mối của chứng minh định lý sau cùng nầy, ngay cả con trai của ông cũng không tìm thấy.

Mãi đến năm 1995 Hội nghị Toán học ở Boston University, các nhà Toán học chính thức công nhận Giáo sư A. Wiles đã giải được định lý sau cùng của Fermat, đây cũng là tin mừng cho cả cộng đồng Toán học Thế giới. Lẻ ra sau đó các nhà Toán học phải đưa ngay định lý Fermat’s Last Theorem vào chương trình giảng dạy Toán ở các bậc Đại học hay cao hơn, vì chúng ta đã quá trể,  trể trên 3,5 thế kỷ rồi, là một sự thiệt thòi rất lớn, đối với lớp trẻ ngày nay, và trong tương lai.

Các nhà Toán học có phần trách nhiệm không nhỏ trong vấn đề nầy, cho đến nay Fermat’s Last Theorem vẫn chưa được chính thức đưa vào chương trình phổ thông giảng dạy, Định lý sau cùng là một tác phẩm tuyệt vời của Pierre de Fermat vào cuối đời của ông (thế kỷ thứ XVII). Chúng ta không thể so sánh định lý Fermat’s Last Theorem nầy, với một định lý Toán học khác, hay so sánh Fermat’s Last Theorem với một tác phẩm văn chương có giá trị cao, nhưng các định lý Toán học, hay các tác phẩm văn chương hay, có giá trị cao, nó có những điểm chung, mà chúng ta dể nhận thấy

Truyện Kiều của Nguyễn Du, từ thế kỷ XVIII đến nay vẫn là tác phẩm tuyệt vời, vì mọi người, mọi thành phần trong xã hội, từ giới lao động bình dân, cho đến các bậc học giả siêu hạng đều tiếp nhận một cách trân trọng, thậm chí có người bảo rằng, truyện Kiều còn, tiếng Việt còn, ở trình độ nào tiếp thu trong khả năng của trình độ đó.

Định lý sau cùng của Fermat cũng tuyệt vời như vậy, mọi trình độ trong cộng đồng Toán học đều tiếp nhận Định lý rất trân trọng, mặc dù định lý chưa được phổ biến rộng rải, tùy theo khả năng tiếp thu của mỗi cộng đồng viên, chứ định lý Fermat’s Last Theorem không áp dụng độc nhất vào một công việc nào đó, như các định lý toán học khác, chẳng hạn như định lý Pythagoras ở trình độ nào cũng chỉ áp dụng “bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương 2 cạnh góc vuông, trong tam giác vuông”, chứ không áp dụng cho tam giác thường, hay lục lăng, bác giác nào cả .

Vấn đề Fermat’s Last Theorem, vô cùng rộng lớn, nó mở cho ta con đường toán học thênh thang, quý vị có quan tâm đến Toán học và các bạn trẻ tha hồ vào đó sưu tầm, nghiên cứu, chứ không còn gò bó trong phạm vi hạn hẹp, nếu chúng ta cứ ngủ quên trên bằng cấp, trên học vị, trên cái “tôi” mà không nắm bắt kịp, thời đại điện toán, thì kể như chúng ta bị đẩy lùi ra sau hàng trăm năm, như báo chí Quốc tế từng phân tích, so sánh với các nước chung quanh chúng ta chứ không đâu xa.

Diophantinne Equations

Tìm gía trị x, y, z nghiệm của phương trình Diophantus bậc 17 dưới đây

                                 a·x¹⁷ + b·y¹⁷ = c·z¹⁷  (1)

Thông thường với 3 ẩn số x, y, z bắt buộc ta phải có 3 phương trình, hoặc bằng cách nào đó, để có 3 phương trình ta mới giải được, nhưng ở đây 3 ẩn số trong cùng một phương trình bậc n (số mủ 17), các hệ số gốc a, b, c cũng chưa biết

Muốn giải phương trình (1) công việc quan trọng nhất là viết phương trình, có nghĩa là ta phải tìm giá trị của a, b, c thế nào cho phương trình Diophantus (1) ở trên có nghiệm, như vậy công việc rất phức tạp, vì cùng lúc ta tìm gía trị nguyên a, b, c ta phải liên hệ với  các nghiêm của x, y, z cũng phải là số nguyên, chứ viết một phương trình vô nghiệm thì qúa dể, ta cứ viết đại ra, tìm được nghiệm của x, y, z là số nguyên thì quá tốt, còn không thì cho là phương trình vô nghiệm

Bước kế tiếp áp dụng định lý sau cùng của Fermat

Muốn áp dụng được Fermat’s Last Theorem, ta viết lại phương trình Diophantus (1) qua dạng Fermat’s Last Theorem

                                    xⁿ + yⁿ = zⁿ

Đặt:

                                     X   =    ¹⁷√a · x

                                     Y   =    ¹⁷√b · y

                                     Z   =     ¹⁷√c · z

Ta có 

                          X¹⁷ + Y¹⁷ =  Z¹⁷

       (¹⁷√a·x)¹⁷ + (¹⁷√b·y)¹⁷ =  (¹⁷√c·z)¹⁷ 

Áp dụng phương pháp

                                   ζ(s)  =   1

                                  ζ(1)  ≠   0

Ta sẽ tìm ra nhiều gía trị của a, b, c

a = 131072

b = 17050729021

c = 1

Thay giá trị của  hệ số a, b, c vào phương trình

                                        a·x¹⁷ + b·y¹⁷ = c·z¹⁷ 

     Ta có 

     131072 · x¹⁷ + 17050729021 · y¹⁷ =  z¹⁷ 

 Giải phương trình cũng theo phương pháp

                                   ζ(s)  =   1

                                  ζ(1)  ≠   0

Ta có     x = 9,  y = 6,  z = 24

Thử lại: ta thay giá trị mới tìm của x, y, z vào phương trình

     131072 · x¹⁷ + 17050729021 · y¹⁷ =  z¹⁷ 

      131072 · 9¹⁷ + 17050729021 · 6¹⁷ =  24¹⁷ 

Vế trái của phương trình

131072 · 16677181699666569 + 17050729021 · 16926659444736 =    290797794982682557415424  

Vế phải của phương trình

  24¹⁷ = 290797794982682557415424

Ta thấy 2 vế của phương trình Diophantus bằng nhau, do đó gía trị của x, y, z vừa tìm là nghiệm của phương trình

Ta viết phương trình Diophantus khác, có nghĩa là ta tìm giá trị khác của a, b, c

                                 a·x¹⁷ + b·y¹⁷ = c·z¹⁷ 

Tương tự như trên, áp dụng phương pháp

                                   ζ(s)  =   1

                                  ζ(1)  ≠   0

Ta sẽ tìm ra nhiều gía trị của a, b, c khác

a = 129140163

b = 129009091

c = 1

Thay giá trị của  hệ số a, b, c vào phương trình

                                        a·x¹⁷ + b·y¹⁷ = c·z¹⁷    

Ta có 

     129140163 · x¹⁷ + 129009091 · y¹⁷ =  z¹⁷ 

 Giải phương trình cũng theo phương pháp

                                   ζ(s)  =   1

                                  ζ(1)  ≠   0

Ta có     x = 8,  y = 12,  z = 36

Thử lại: thay giá trị mới tìm của x, y, z vào phương trình

     129140163 · x¹⁷ + 129009091 · y¹⁷ =  z¹⁷ 

     129140163 · 8¹⁷ + 129009091 · 12¹⁷ =  36¹⁷ 

Vế trái của phương trình

129140163 · 8¹⁷ + 129009091 · 12¹⁷ =    286511799958070431838109696

Vế phải của phương trình

    36¹⁷  =    286511799958070431838109696

Ta thấy 2 vế của phương trình bằng nhau, do đó gía trị của x, y, z vừa tìm là nghiệm của phương trình

Tương tự như trên, ta viết vô số phương trình Diophantus bậc 17 và vô số nghiệm x, y, z là số nguyên

                                       a·x¹⁷ + b·y¹⁷ = c·z¹⁷ 

Giá trị nguyên của x, y, z vừa tìm ở trên chỉ là nghiệm cuả phương trình Diophantus bậc 17, nếu phương trình Diophantus nầy có số mủ tăng dần lên 18, 19, 20, 21, …. hay số mủ cuả phương trình tăng cao hơn, như 100, 1000, tỷ …. đến vô cực, ta gặp biết bao nhiêu khó khăn, vì ở mỗi thời điểm của số mủ, ta lại đi tìm gía trị khác của x, y, z, vừa mất công, nhọc trí, do đó tôi nghỉ ra một phương pháp riêng, thấy cũng hay hay, xin được trình bày như sau

Phương trình Diophantus (1) ở trên, ta thay số mủ 17 bằng số mủ “x”, xong ta tìm giá trị của x, y, z, thế nào khi số mủ “x” biến thiên đến vô cực mà giá trị x, y, z không thay đổi nhưng nó vẫn là nghiệm của phương trình Diophantus có số mủ “x”, hay nói cách khác nghiệm của phương trình ở thời điểm “x” cũng là nghiệm của phương trình ở thời điểm “x+1”, lúc đó (x à ∞) nghiệm phương trình không thay đổi. Ta đặt cho phương trinh đó cái tên mới là

Phương trình vô cực

                                   a·X^x   +   b·Y^x   =   c·Z^x       (x ∞)

Định lý sau cùng của Fermat (Fermat’s Last Theorem)

không có giá trị nguyên x, y, z nghiệm đúng phương trình  “xⁿ + yⁿ = zⁿ ”  với n > 2

Nhưng với phương trình vô cực thì ngược lại

có vô số giá  trị  của X, Y, Z  (XYZ ≠ 1) là nghiệm  phương trình

                                                          “a·X^x   +   b·Y^x   =   c·Z^x” khi x tiến đến vô cực

Trường hợp đặc biệt (XYZ = 1)

Ta có

                            3·1⁷   +   5·1⁷    =   8·1⁷    =    8   (x   ∞)

                            7·1¹¹  +  2·1¹¹   =   9·1¹¹   =    9   (x ∞)

                          12·1²⁴  + 15·1²⁴  =  27·1²⁴  =  27   (x ∞)

Nói cách khác khi      X = Y = Z = 1    thì phương trình vô cực

                           a·X^x   +   b·Y^x   =   c·Z^x       (x ∞)

trở thành bài toán cộng thật đơn giản

                            a + b = c

Tóm laị

Phương trình vô cực nói rằng khó, thì qủa là không sai, nhưng không phải vì thế mà không tìm ra nghiệm của x, y, z, nguyên  của phương trình 

                                     a·X^x   +   b·Y^x   =   c·Z^x       (x à ∞)

Kính mời quý vị và các bạn trẻ có quan tâm về toán học, bỏ chút thời giời quý báu, tìm thử mới thấy sự mầu nhiệm của toán học, tưởng chừng như không bao giờ có nghiệm x, y, z, nhưng sự thật thì có vô số nghiệm

Chân thành

Võ Văn Rân