Gần
đây các nhà Toán học quan tâm đến loại phương trình có nhiều
ẩn số, và số mũ có thể vượt ra khỏi tầm tay của chúng ta,
nên rất khó đối với học sinh, sinh viên, vì các bạn trẻ chưa
bao giờ được học đến loại phương trình ĐA ẨN SỐ nầy, còn gọi
là DIOPHANTINE EQUATIONS, các bạn trẻ chỉ học mỗi ẩn số phải
có một phương trình mới giải được, nói như vậy không có
nghĩa là Diophantine Equations quá mới, thật ra loại phương
trình nầy có từ nhiều ngàn năm trước,
Nhưng không
hiểu sao Diophantine Equations bị mất đi một thời gian lâu,
phương trình lấy tên nhà Toán học
Diophantus of
Alexandria (Greek:
Διόφαντος
ὁ
Ἀλεξανδρεύς)
vì ông
đã bỏ ra nhiều công sức để sưu tầm, ông là tác giả của nhiều
cuốn sách Số học (Arithmetica) với những phương trình phức
tạp thuộc nhiều thế kỷ Trước Công nguyên, gọi chung là
Diophantine Equations, phương pháp để giải các phương trình
đa ẩn số của Diophantus of Alexandria được gọi là
Diophantine analysis. Học về Diophantine Equations là một
trọng tâm trong lãnh vực học thuyết số (number theory), nhà
Toán học
Diophantus of Alexandria
rất nổi tiếng về loại phương trình nầy, đôi khi các nhà Toán
học còn gọi ông
“the father
of algebra”
nhưng người ta biết rất ít về tiểu sử của ông, có sách thì
nói ông sinh năm 200 mất năm 284, còn có sách nói ông sinh
năm 214 mất 298
Ta thử
tìm hiểu về phương trình
On a Generalized Fermat-Wiles Equation
“Fermat's
Last Theorem was no more than a conjecture for over 350
years. Let n be an integer greater than 2. Fermat claimed
that any integers x, y and z, not necessarily positive, for
which
xn
+ yn = zn
must
consequently satisfy x · y · z = 0. Andrew Wiles'
spectacular achievement, building on the work of Kenneth
Ribet and others, was to prove beyond any doubt that
Fermat's conjecture is true.
To some
people, the passage of this conjecture to theoremhood is
marked by sadness. They may mistakenly believe that no other
interesting Diophantine equations are left to be solved.
This essay is aimed at such individuals: there is a much
larger class of equations, of which Fermat-Wiles is only a
special case, that is well worth everyone's attention!
The
equation we'll examine is
xn
+ yn = c · zn
where c
is a positive integer. We wish to learn what conditions on n
and c force the existence of a non-trivial solution
(x, y, z), that is, x · y · z ≠ 0. In other words, when is
the equation xn + yn = c · zn
solvable (in nonzero integers)? The case n = 1 is
easy: taking x = y = c and z = 2, we conclude that
non-trivial solutions always exist. The case n = 2 is
somewhat more difficult. Let c′ denote the square-free part
of c, that is, the divisor of c which is the outcome after
all factors of the form d² have been eliminated. The
equation
x2
+ y2 = c · z2
is
solvable if and only if all odd prime factors of c′ are
equal to 1 modulo 4. (See Hardy and Wright's[1] discussion
of Waring's problem for a proof.) Here are the first several
values of c for which this condition holds:
...”
Kính thưa
quý vị và các bạn trẻ, tôi nêu ra những dẫn chứng trên, để
quý vị và các bạn trẻ thấy đây là những vấn đề của Thiên
niên kỷ, chứ không phải tôi tự ý đưa ra, như các cụ xưa
thường nói “thừa giấy vẻ voi”
Fermat-Wiles
Equation có dạng xn + yn = c·zn
chỉ là trường hợp đặc biệt của Diophantine Equations, nên
các bạn trẻ muốn hiểu phương trình trên là “Fermat-Wiles
Equation” hay phương trình trên là một “Diophantine
Equations” nói thế nào cũng đúng cả.
Fermat-Wiles
Equation là thách thức lớn đối với chúng ta hiện nay “Fermat-Wiles
is only a special case, that is well worth everyone's
attention!” chả nhẻ chúng ta bó tay, ngồi chờ các nhà
Toán học giải đáp, hoặc tìm ra phương pháp chung, để chúng
ta giải, thì biết đến bao giờ, các nhà Toán học còn bận tâm
đến những vấn đề lớn khác của Thế kỷ XXI. Giáo sư Andrew
Wiles rất quan tâm về loại phương trình nầy, có lẽ vì vậy mà
các nhà Toán học cuối thế kỷ XX đã lấy tên ông và tên nhà
Toán học nổi tiếng vào thế kỷ XVII là Fermat để đặt tên cho
phương trình “Fermat-Wiles”, nhưng đến nay Giáo sư
Andrew Wiles vẫn chưa tìm ra phương pháp chung cho
Fermat-Wiles Equation,
Để biết
phương trình khó như thế nào (?) mời các bạn trẻ thử ngồi
lại để tìm một phương pháp nào đó, có thể giải phương trình
với n = 2
Tìm giá trị c của phương trình bậc 2 dưới đây cho các nghiệm
x, y, z của phương trình có nghiệm nguyên
x2 + y2
= c·z2
Muốn
giải phương trình
“x2 + y2 = c·z2”
trước tiên ta phải tìm giá trị của c, cho giá trị của x, y,
z là những số nguyên, ta chưa có phương pháp tìm giá trị của
c, do đó các bạn trẻ vào địa chỉ sau đây, qua internet các
bạn trẻ sẽ có ấn tượng về các giá trị của c, mới nhìn qua ta
thấy một rừng số, nếu các bạn không kiên trì tìm hiểu, thì
sẽ bỏ qua ngay, như bảng giá trị sau đây
http://www.mathsoft.com/mathsoft_resources/unsolved_problems/2186a.aspx
“1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 34, 37, 41, 53, 58, 61, 65,
73, 74, 82, 85, 89, 97, 101, 106, 109, 113, 122, 130, 137,
145, 146, 149, 157, 170, 173, 178, 181, 185, 193, 194, 197,
202, 205, 218, 221, 226, 229, 233, 241, 257, 265, 269, 274,
277, 281, 290, 293, 298, 305, 313, 314, 317, 337, 346, 349,
353, 362, 365, 370, 373, 377, 386, 389, 394, 397, 401, 409,
410, 421, 433, 442, 445, 449, 457, 458, 461, 466, 481, 482,
485, 493, ...”
Phương pháp
của các nhà Toán học ở trên, vô cùng khó đối với chúng ta,
nhìn vào bảng giá trị của c, đúng sai như thế nào, ta hoàn
toàn không biết, vì muốn biết thì phải thay giá trị của c,
để tìm các giá trị x, y, z có dúng là nguyên hay không,
nhưng chưa có phương pháp nào để giải phương trinh bậc hai
(x2 + y2 = cz2) chứa 3 ẩn
số x, y, z, do đó các nhà Toán học cho ta biết đến đâu, thì
ta biết đến đấy thôi.
Qua bảng giá
trị của c ở trên, ta có cảm giác như có sự liên tục các giá
trị của c từ 1, 2, 5, 10 … Qua thời gian tìm hiểu, tôi tìm
ra phương pháp rất đơn giản, xin chia xẻ cùng các bạn trẻ,
học sinh, sinh viên, với phương pháp nầy các bạn trẻ dể dàng
tìm được giá trị của c
Phương pháp
đó được gọi ζ(s) = c và
ζ(c) = 0, qua công thức nầy, ta tìm vô số giá
trị của c. Nói công thức thì quá lạm dụng danh từ, nhưng nó
đúng cho mọi giá trị của n, mong quý vị niệm tinh bỏ qua
cho,
ζ(s) =
r2 + s2 = c,
với tất cả giá trị nguyên, hữu tỷ của r và s miễn sao giá
trị của c là số nguyên.
ví
dụ: 0.62 + 0.82
= 1
12 + 12 = 1.42 + 0.22
= 2
1.62 + 1.22
= 4
12 + 22 = 2.22 + 0.42
= 5
22 + 22
= 8
1.82 + 2.42
= 9
12 + 32 = 1.82 + 2.62
= 10
1.22 + 3.42 = 22 + 32
= 13
12 + 42 = 1.62 + 3.82
= 17
0.62 + 4.22 = 32 + 32
= 18
0.82 + 4.42 = 22 + 42
= 20
32 + 42
= 25
12 + 52
= 26
…
Cứ tiếp tục
ta sẽ tìm ra tất cả các giá trị của c như bảng giá trị trên
của 2 nhà Toán học Hardy and Wright
Phương pháp gọi ζ(s) =
c và ζ(c) = 0, ta còn tìm nhiều giá trị của c
chưa có trong bảng giá trị trên, chỉ riêng từ 1 đến 26, có 6
số mới như 4, 8, 9, 18, 20, 25 … các giá trị của c nầy cũng
đáp ứng yêu cầu cho giá trị của x, y, z là số nguyên
Ví dụ 1: c = 4 phương trình sẽ là x2 + y2
= 4·z2
Giải phương
trình ta có giá trị của x = 24, y = 18 ,
z = 15
Thay giá tri
x, y, z, vào phương trình thử lại
x2 + y2 = 4·z2
242 + 182 = 4·152
576 + 324 = 900
Ví dụ 2: c = 25 phương trình sẽ là x2 + y2
= 25·z2
Giải phương
trình ta có giá trị của x = 51, y = 68 ,
z = 17
Thay giá tri
x, y, z,vào phương trinh thử lại
x2 + y2 = 25·z2
512 + 682 = 25·172
2601 + 4624 = 7225
….
Tìm giá trị c của phương trình bậc 3 dưới đây cho các nghiệm
x, y, z của phương trình có nghiệm nguyên, âm hoặc dương
x3 + y3 = c·z3
Phương pháp: gọi ζ(s) =
c và ζ(c) = 0, được dùng cho tất cả các giá trị
của n, như n = 3 thì ta có
ζ(s) =
r3 + s3 = c,
với tất cả giá trị nguyên, hữu tỷ của r và s miễn sao giá
trị của c là số nguyên.
Qua internet ta thấy nhà toán học Selmer đã dùng máy tính
tìm ra bảng giá trị sau đây:
“For the sake of economy, let us list only the cube-free
members of the c-sequence C corresponding to n = 3. The
c-sequence is homogeneous in the sense that c is in C if and
only if all cube-multiples of c are in C.
2, 6, 7, 9, 12, 13, 15, 17, 19, 20, 22, 26, 28, 30, 31, 33,
34, 35, 37, 42, 43, 49, 50, 51, 53, 58, 61, 62, 63, 65, 67,
68, 69, 70, 71, 75, 78, 79, 84, 85, 86, 87, 89, 90, 91, 92,
94, 97, 98, 103, 105, 106, 107, 110, 114, 115, 117, 123,
124, 126, 127, 130, 132, 133, 134, 139, 140, 141, 142, 143,
151, 153, 156, 157, 159, 161, 163, 164, 166, 169, 170, 171,
172, 177, 178, 179, 180, 182, 183, 186, 187, 193, 195, 197,
198, 201, 202, 203, 205, 206, 209, 210, 211, 212, 213, 214,
215, 217, 218, 219, 222, 223, 228, 229, 231, 233, 236, 238,
241, 244, 246, 247, 249, 251, 254, 258, 259, 265, 267, 269,
271, 273, 274, 275, 277, 278, 279, 282, 283, 284, 285, 286,
287, 289, 294, 295, 301, 303, 305, 306, 308, 309, 310, 313,
314, 316, 319, 321, 322, 323, 325, 330, 331, 333, 335, 337,
339, 341, 342, 345, 346, 348, 349, 355, 356, 357, 358, 359,
363, 366, 367, 370, 372, 373, 377, 379, 380, 382, 385, 386,
387, 388, 390, 391, 393, 394, 395, 396, 397, 399, 402, 403,
407, 409, 411, 413, 414, 418, 420, 421, 422, 425, 427, 428,
429, 430, 431, 433, 435, 436, 438, 439, 441, 444, 445, 446,
447, 449, 450, 452, 453, 454, 457, 458, 460, 462, 463, 465,
466, 467, 468, 469, 474, 477, 481, 483, 484, 485, 490, 493,
494, 495, 497, 498, 499, ...
This is far as Selmer[2] performed his calculations. Surely
someone else has gone farther?”
ζ(s) =
r3 + s3 = c, ta lần lược thay thế
những giá trị của r và s là số nguyên, âm hoặc dương, lũy
thừa 3 tương đối lớn nên các giá trị của r, s là số lẽ (
không nguyên, hữu tỷ hữu hạn hay hữu tỷ vô hạn) tương đối
mất nhiều thì giờ, nên từ n=3 trở lên các bạn nên lấy giá
trị r và s là số nguyên như dưới đây
r3 + s3
= c
13 + 13
= 2
23 + (-1)3
= 7
13 + 23
= 9
23 + 23
= 16
33 + (-2)3
= 19
33 + (-1)3
= 26
13 + 33
= 28
43 + (-3)3
= 37
…
Nhà toán học Selmer còn cẩn thận hơn, cho các giá trị của x,
y, z tương ứng với giá trị của c (từ 2 đến 28) nhưng không
cho biết phương pháp để tìm, nên các giá trị của c > 28 ta
không biết
“Selmer[2] additionally listed sample solutions (x, y, z)
for each of the above c-values; we give just a few here:
|
c |
x |
y |
z |
|
2 |
1 |
1 |
1 |
|
6 |
37 |
17 |
21 |
|
7 |
2 |
-1 |
1 |
|
9 |
2 |
1 |
1 |
|
12 |
89 |
19 |
39 |
|
13 |
7 |
2 |
3 |
|
15 |
683 |
397 |
294 |
|
17 |
18 |
-1 |
7 |
|
19 |
3 |
-2 |
1 |
|
20 |
19 |
1 |
7 |
|
22 |
25469 |
17299 |
9954 |
|
26 |
3 |
-1 |
1 |
|
28 |
3 |
1 |
1 |
…”
Tìm giá trị c của phương trình bậc 4 dưới đây cho các nghiệm
x, y, z của phương trình có nghiệm nguyên
Ta tiếp tục
tìm giá trị của c với n = 4
x4 + y4 = c·z4
ζ(s) =
r4 + s4 = c, với tất cả giá trị
nguyên, hoặc hữu tỷ của r và s miễn sao giá trị của c là số
nguyên, lũy thừa 4 tương đối lớn nên các giá trị của r, s
là số lẽ ( không nguyên, hữu tỷ hữu hạn hay hữu tỷ vô hạn)
mất rất nhiều thì giờ, các bạn nên lấy giá trị r và s là số
nguyên
Qua internet ta thấy nhà toán học Bremner va Morton đã tìm
ra bảng giá trị sau đây:
“Bremner
and Morton[4] obtained that the sequence is:
|
2, 17, 32, 82, 97, 162,
257, 272, 337, 512, 626, 641, 706, 881, 1250,
1297, 1312, 1377, 1552, 1921, 2402, 2417, 2482,
2592, 2657, 3026, 3697, 4097, 4112, 4177, 4352,
4721, 4802, 5392, 5906, … |
and that
5906 = (149/17)4 + (25/17)4 is the
least integer expressible as the sum of two rational fourth
powers but not as the sum of two integer fourth powers”
Áp dụng công
thức ζ(s)
= r4 + s4
= c ta có
ζ(s)
= r4 + s4
= c
14 + 14 = 2
14 + 24 = 17
24 + 24 = 32
14 + 34 = 82
24 + 34 = 97
34 + 34 = 162
14 + 44 = 257
….
Cứ như vậy
ta sẽ tìm tất cả các số trên bảng giá trị và còn tiếp tục
đến bao nhiêu cũng được
Tiếp tục tìm
giá trị của c với n = 5
x5
+ y5 = c·z5
Tìm
giá trị c của phương trình bậc 5 trên đây cho các nghiệm x,
y, z của phương trình có nghiệm nguyên, âm hoặc dương
Ta cũng
dùng công thức như trên, chỉ thay thế số mũ bằng 5,
ζ(s) =
r5 + s5 = c,
với tất cả giá trị nguyên, hữu tỷ của r và s miễn sao giá
trị của c là số nguyên.
Qua internet ta thấy nhà toán học David Wilson tìm ra bảng
giá trị sau đây:
“David
Wilson has suggested that the c-sequence for n = 5 is:
|
2, 31, 33, 64, 211, 242,
244, 275, 486, 781, 992, 1023, 1025, 1056, 1267,
2048, 2101, 2882, 3093, 3124, 3126, 3157, 3368,
4149, 4651, 6250, 6752, 7533, 7744, 7775, 7777,
7808, 8019, 8800, 9031, 10901, 13682, 15552,
15783, 15961, 16564, 16775, 16806, 16808, 16839,
17050, 17831, 19932, 24583, 24992, 26281, 29643,
31744, 32525, 32736, 32767, 32769, 32800, 33011,
33614, 33792, 35893, 40544, 40951, 42242, 49575,
51273, 55924, 58025, 58806, 59017, 59048, 59050,
59081, 59292, 60073, 61051, 62174, 65536, 66825,
67232, 68101, … |
and that
68101 = (15/2)5 + (17/2)5 is the least
integer expressible as the sum of two rational fifth powers
but not as the sum of two integer fifth powers”
ζ(s) =
r5 + s5 = c,
với tất cả giá trị nguyên, hữu tỷ của r và s miễn sao giá
trị của c là số nguyên
ζ(s) =
r5 + s5 = c
15 + 15 = 2
(-)15 + 25 = 31
15 + 25 = 33
25
+ 25 = 64
(-2)5 + 35 = 211
(-1)5 + 35 = 242
15 + 35
= 244
25 + 35 = 275
…
Đến đây các bạn trẻ có thể tìm được giá
trị của c với mọi giá trị của n
ζ(s) = c và
ζ(c) =
0
Với phương pháp trên không phải giới hạn
ở những giá trị n = 5, 6, hay 7 …
Khi các bạn
đã nhuần nhuyễn với những giá trị của r và s là số nguyên
hoặc hữu tỷ, thì chúng ta sẽ bàn đến giá trị của r và s là
những số vô tỷ, có nghĩa
ζ(s)
= c và ζ(c) ≠
0
Trường hợp nầy
các nhà Toán học chưa đề cập đến, nhưng nó được dùng cho các
phương trình cao cấp, không phải chỉ tìm giá trị của c, mà
ta phải tìm giá trị của nhiều cơ số như A, B, C, D, E,… rồi
mới tìm tới giá trị của …. u, v, x, y, z, trong khi các số
mũ không bằng nhau, như phương trình sau đây, trong quyển
sách thứ 2 bằng tiếng Việt, tôi đã viết xong chưa biết lấy
tên là gì, có thể là “PHƯƠNG PHÁP GIẢI DIOPHANTINE
EQUATIONS”
**) 1) Viết
phương trình có dạng Diophantus sau đây:
A·
u16 + B·
v9 + C·
x18 + D·
y6 = E·
z17
2)
Giải phương trình tìm giá trị của u, v, x, y, z nguyên
nghiệm đúng phương trình vừa viết trên
Giải
…. Sau đây là pt muốn viết và kết
quả
(khi giải
xong, ta phải thay giá trị của u, v, x, y, z vào phương
trình trên thử lại)
35188389437246892441· u16
+ 842268672· v9
+ 12· x18
+ 409692888200296· y6
= 4919·
z17
35188389437246892441·14716+842268672·1176499+12·205818+409692888200296·403536076=4919·
4917
Vế trái của
phương trình
35188389437246892441·14716 + 842268672·1176499
+ 12· 205818 + 409692888200296· 403536076
= 7.0316764788835532799945507414769e+60
Vế phải của
phương trình
4919·
4917
= 7.0316764788835532799945507414769e+60
Hai vế trái và
phải của phương trình bằng nhau, suy ra các giá trị trên là
nghiệm của phương trình
A· u16
+ B· v9
+ C· x18
+ D· y6
= E· z17
Đáp số :
1) Phương trình
ta muốn viết là
35188389437246892441·u16 + 842268672·v9
+ 12· x18 + 409692888200296· y6 = 4919·
z17
2) Nghiệm số
của phương trình:
u
= 147
v =
117649
x =
2058
y =
40353607
z
= 49
~~~~~~/////~~~~~~
Trở lại
phương trình:
x2 + y2 = 17·z2
Đã có
giá trị của c (c = 17) các bạn trẻ thử tìm giá trị của x, y,
z nguyên, nghiệm đúng phương trình trên, để thấy khó như thế
nào! nó rất khó chứ không dể như chúng ta tưởng, do đó tôi
tìm ra phương pháp chung cho các phương trình Đa ẩn số, tạm
gọi là công thức, xin được nói thêm muốn được gọi là công
thức, thì công thức phải có chứng minh, rồi trình lên Hội
Toán Học Hoa Kỳ (AMS), một thời gian nghiên cứu của AMS, nếu
đúng sẽ cấp bằng phát minh, kèm theo phần thưởng bằng hiện
kim không phải là nhỏ, sau đó ai muốn xử dụng phải xin phép,
tôi biết điều đó, nhưng vốn tôi sống giản dị, không thích
nguyên tắc nhiêu khê phiền phức, hơn nửa mỗi lần tìm ra công
thức mới, phải ngồi chờ, trên chấp nhận rồi mới tìm cái
khác, tuổi tác tôi đã cao, nên trong quyển TOÁN HỌC XƯA và
NAY, tôi có đưa ra nhiều phương pháp chung, có thể nói là
công thức, với Phương pháp của tôi các bạn chỉ mất 10-15
phút chứ không khó, nếu có bạn nào chưa làm được, có lẻ các
bạn chưa đọc sách TOÁN HỌC XƯA và NAY, nếu đã đọc rồi mà vẫn
chưa làm được, cũng đừng vội cho mình dở toán, mà lỗi là do
tôi không đủ trình độ trình bày rỏ ràng, Phương pháp hay
nhất tôi thường dùng, đọc lần đầu tôi chẳng hiểu gì cả, vốn
tiếng Anh kém mà sách dày năm bảy trăm trang, đọc đến lần
thứ ba, thứ tư mới hiểu, không những hiểu mà còn tìm ra
những vấn đề không chuẩn, hoặc chưa hay, Có thể các bạn đọc
lần đầu sách tôi chưa hiểu, nhưng đọc đến lần thứ nhì, thứ
ba, thứ tư…. Thì các bạn không những hiểu mà còn thấy, có
những cái kém, thua sự hiểu biết của các bạn, đó là điều
không sai, nói như vậy không có nghĩa là tôi quảng cáo bán
sách, nhưng các bạn cũng nên có một quyển trong tủ sách các
bạn, vì sinh viên Thế giới họ đẫ tiếp cận với sách tôi nhiều
rồi.
Tóm lại
các bạn trẻ thấy các phương pháp của tôi có thể dùng được
cho vấn đề học hỏi, cứ lấy xuống dùng, nếu có tính cách
thương mại, như viết thành sách giáo khoa, thì phải được sự
đồng ý của tôi.
Không
phải tôi tự đề cao sách của mình, thời gian qua cũng có
nhiều quốc gia đã viết lại sách “Fermat’s Last Theorem” của
tôi dưới đây, thành sách giáo khoa để giới thiệu đến Sinh
viên, có nước thì còn để tôi là tác giả, có nước thì không
Trước khi dừng bút, kính chúc BBT cùng quý độc giả
của khoahoc.net một năm mới An bình Hanh phúc, Đất lành chim
đậu, mỗi ngày chim én về càng đông, những cánh én mang lại
mùa xuân bất tận cho khoahoc.net nói riêng, và Dân tộc VN
nói chung.
Chúc mừng năm mới BS Nguyễn Ý Đức, anh Nguyễn Quý
Đại, anh Phương Tôn, chi Bích Vân, chị Uyên Hạnh, anh Long
Tôn toàn thể BBT và quý Độc giả Khoahoc.net
Kinh chúc
Võ Văn Rân
