Qua truyền thông báo chí, qua mạn tòan cầu Internet  được biết quý Giáo Sư, quý độc giả và các bạn trẻ, có quan tâm về TOÁN HỌC, muốn biết cách chứng minh của các nhà Toán học về Định lý sau cùng của Fermat, còn gọi là Định lý lớn (The Great Theorem), Fermat còn một định lý khác ít nổi tiếng, gọi là Định lý nhỏ “Fermat's little theorem”

Trên 360 năm, “FLT” vẫn là bài toán khó nhất, chưa có nhà Toán học nào tìm ra cách chứng minh, ngắn gọn từ 1 đến 2 trang, Nhiều nhà Toán học còn thách thức rằng, hiện nay có ai còn nghĩ đến việc, chứng minh định lý sau cùng của Fermat ngắn gọn trong một trang, (single page) thì người đó không được bình thường, nói theo kiểu Việt nam là bị chạm hay bị ấm đầu...

Quý Giáo sư, quý độc giả và các bạn trẻ có quan tâm về FLT, đã tìm đọc các sách sau đây:

Fermat's Last Theorem (Paperback)by Simon Singh 

Fermat's Enigma: The Epic Quest to Solve the World's Greatest Mathematical Problem (Paperback)

by SIMON SINGH, JOHN LYNCH 

Fermat's Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient

Mathematical Problem (Paperback)by Amir D. Aczel

The Fermat Proof by C. J. Mozzochi

Fermat's Last Theorem for Amateurs by Paulo Ribenboim

Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem by Ian Stewart and David Tall

Notes on Fermat's Last Theorem by Alfred J. van der Poorten

...

Cho dù có đọc hết những quyển sách trên, và đọc thêm hàng chục quyển sách khác, của các nhà Toán học nói về

 Fermat’s Last Theorem hàng, quý vị và các bạn cũng không thể nào biết cách để chứng minh FLT. Vì phần lớn, sách 

được viết như một loại tiểu thuyết về toán học, chỉ dựa trên những yếu tố có liên quan đến Fermat như Shimura 

Taniyama Conjecture, Frey Conjecture … Sách được viết một cách chung chung, có nghĩa là trước khi chưa đọc sách, 

quý vị chưa biết cách chứng minh ra sao? Đọc sách xong quý vị cũng không biết chứng minh như thế nào?... Đây là nhận 

xét của cá nhân tôi, nếu có gì không đúng xin được sự chỉ giáo của quý vị 

Do đó tôi xin trình bày một cách rất bình dân về đinh lý sau cùng của Fermat để quý vị và các bạn trẻ có quan tâm 

đến các VẤN ĐỀ TOÁN HỌC cùng đóng góp ‎ý kiến. 

Các nhà TOÁN HỌC thuộc giới thượng lưu, họ suy nghĩ quá cao xa, đôi khi đi lạc hướng, lạc hướng ở đây là nó 

thuộc về Số học thì tưởng là Hình hoc, hay ngược lai. Còn chúng ta thuộc giới trung lưu, và bình dân thì không bắt 

kip suy nghĩ của giới thượng lưu Toán học, nên thường có mặc cảm cách biệt…

Trước hết chúng ta phải tìm hiểu phần chứng minh của các nhà Toán học trong quá khứ “Ôn cố Tri tân” 

Sơ đồ chứng minh những năm gần đây, cho ta thấy các nhà Toán học chỉ chứng minh vòng vòng bên ngoài, rồi 

kết luận FLT đúng, chứ không thể chứng minh trực tiếp vào FLT

Định lý sau cùng của Fermat (Fermat’s Last Theorem) được phát biểu nguyên thủy

“The full text of Fermat's statement, written in Latin, reads "Cubum autem in duos cubos, aut

quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum

potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.

Hanc marginis exiguitas non caperet" (Nagell 1951, p. 252) In translation, "It is impossible for a cube

to be the sum of two cubes, a fourth power to be the sum of two fourth powers, or in general for

any number that is a power greater than the second to be the sum of two like powers. I have discovered

a truly marvelous demonstration of this proposition that this margin is too narrow to contain."

Phát biểu đơn giản như sau

“Fermat’s Last Theorem states that    

                        xⁿ + yⁿ = zⁿ

Have no solution for non-zero integers x, y, and z if n is an integer great than 2 (n > 2)”

Pierre de Fermat (sinh 1601 – mất 1665) nhà Toán học Pháp dựa trên định lý của Pythagoras x2 + y2 = z2   

phát biểu rằng:

Không có giá trị x, y, z là số nguyên khác không, có thể thỏa mãn phương trình “xn+yn=zn”, với n > 2.

Ông nói rằng ông đã có một cách chứng minh đơn giản định lý này, nhưng lề quyển sách quá hẹp nên

 không đủ viết chứng minh, 

Đã có vô số nhà Toán học chuyên và không chuyên, cố công tìm chứng minh của ông, hoặc chứng minh cách khác, 

nhưng không ai thành công trong hai lãnh vực nầy, cuối cùng họ nghi ngờ Fermat không có  chứng minh, hoặc có mà 

chứng minh sai nên hủy bỏ luôn (?).

Phương trình  “xⁿ+yⁿ=zⁿ”,  với n =1, n= 2 ta có vô số nghiệm, nên ta không dùng cách chứng minh quy nạp để chứng

minh được, các nhà Toán học phải chứng minh từng thời điểm một của n như  n = 3, n = 4, n = 5, n = 6,… n  đến vô cực

, mặc khác các giá tri x, y, z cũng tiến đến vô cực, thông thường 3 ẩn số x, y, z, ta phải có 3 phương trình mới giải được

, ở đây 3 ẩn số x, y, z trong 1 phương trình bậc n (n → ∞) nên vô cùng khó khăn

Tìm hiểu cội nguồn của đinh lý FLT

Từ 1900 đến 1600 năm trước Công nguyên, người Babylon đã biết về bộ ba của Pythagoras (3, 4, 5);

(5, 12, 13); (8, 15, 17)….nghiệm đúng phương trình a² + b² = c²    , có lẽ  (3, 4, 5) là triple Pytagoras nguyên thủy.

Các nhà khảo cổ đã tìm thấy những bản bằng đất viết bằng chữ Babylon cổ đại, hiện được biết qua danh mục Plimpton

332 lưu giữ ở trường Đại học Columbia

 Còn bên Anh quốc thì ta đọc được

“An old Babylonian tablet (1900 - 1600 BC), shown on the right, contains the so-called Pythagorean Theorem, except that it  predates Pythagoras by a millennium or more. A translation of another Babylonian tablet preserved in the British

museum states (John Heise):

  4 is the length and 5 the diagonal. What is the breadth? Its size is not

    known. 4 times 4 is 16. 5 times 5 is 25. You take 16 from 25 and there

    remains 9. What times what shall I take in order to get 9? 3 times 3 is 9.

    3 is the breadth.”

Định lý Pythago và Định lý sau cùng của Fermat đã có cội nguồn từ nhiều ngàn năm trước, Nhưng mãi đến Thế kỷ

thứ V trước Công nguyên Nhà Toán học Pythago mới có định lý :

“trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương 2 cạnh góc vuông”  

Và đến thế kỷ XVII Pierre de Fermat mới có đinh lý sau cùngKhông có giá trị x, y, z là số nguyên khác không, 

có thể thỏa mãn phương trình “xn+yn=zn”, với n > 2

Các nhà Toán học đã chứng minh Định lý sau cùng cùng của Fermat

               Leonhard Euler (1707- 1803) Mãi đến thế kỷ XVIII Nhà Toán học Thụy sĩ L. Euler bỏ ra nhiều công sức

 mới giải được  n = 3 

Với phương trình “x3 + y3 = z3” vô nghiệm, rất khó chứng minh vì 3 ẩn số trong một Phương trình, x, y, z, tiến đến 

vô cực, biết đâu ở MIỀN vô cực x, y, z, có nghiệm?     

               Sophie Germain (1/4/1776-1831) là nữ Toán học người Pháp, bà sinh trưởng trong một gia đình buôn bán 

giàu 

có ở Paris, cha là giám đốc ngân hang “Bank of France”. Đến năm 18 tuổi bà ghi danh vào trường chuyên Khoa học 

và toán mathematicians and scientists. Nhưng trường không nhận Nữ sinh, sau dó bà nhập học với tên Nam là

 M. LeBlanc, Sophie Germain chia Định lý sau cùng của Fermat ra 2 trường hợp, 

Trường hợp 1: không có x, y, z được chia đúng bởi n.

                         GCD(x,y,z)  ≠   n

Trường hợp 2: một và chỉ một  x, y, z được chia đúng bởi n”

Bà giải được n = 5 với phương trình “x5 + y5 = z5” vô nghiệm

               Năm 1832 Dirichlet dựa trên thuyết 2 trường hợp, của nhà toán học Sophie Germain để   chứng minh n = 5 

với Phương trình “x5 + y5 = z5” và n = 7  “x7 + y7 = z7” vô nghiệm.

Năm 1839 Lamé dựa theo thuyết 2 trường hợp của Sophie để   chứng minh n = 7 với phương trình “x7 + y7 = z7”

 vô nghiệm

             Ernst Eduard Kummer (1810-1893) đã chứng minh được n < 100 vô nghiệm   

             Goro Shimura, Yutaka Taniyama (1927-1958) và Frey (1984)Đã đưa ra giả thuyết về elliptic curve và

 modular form có liên quan đến Diophantine Equations và Fermat’s last theorem  

               1985 Kenneth Ribet đã chứng minh dự đoán Frey 

             Cho tới gần đây (1993), với kỹ nghệ Điện toán phát triển mạnh, nhờ đó nhà Toán học đã chứng minh được có 

giá trị đến 4,000,000 là vô nghiệm, nhưng biết đâu 4,000,001 (bốn triệu lẽ một có nghiệm) có nghiệm, cho dù 

với máy điện toán có tìm ra n lớn đến 4,000,000,000 (4 tỷ) vô nghiệm, cũng không thể kết luận FLT đúng, biết đâu 

4,000,000,001(4tỷ lẻ 1) có nghiệm,  do vậy mà trên 360 năm chưa ai giải được,

             Năm 1993 Giáo sư Andrew Wiles nhà toán học người Anh, ông cũng là Chủ tịch khoa Toán của Đại học 

Princeton University Hoa kỳ, đã khám phá ra cách chứng minh, trong khi nghiên cứu về một bài toán hình học tổng 

quát hơn

Ông đã biết định lý sau cùng của Fermat ở lứa tuổi 10s, khi ông vào thư viện ở làng quê ông. Nhưng sau đó không lâu 

Nich Katz đã tìm thấy chổ sai trong chứng minh của Giáo sư Andrew Wiles, ông phải nhờ sự trợ giúp của Richard 

Taylor

Tháng 10 năm 1994 với sự trợ giúp của các nhà Toán học, Andrew Wiles mới hoàn tất chứng minh  “conjectured 

by the Japanese mathematician Goro Shimura based on some ideas that Yutaka Taniyama posed, 

hypothetical elliptic curve, called the Frey curve” và ông kết luận Định lý sau cùng của Fermat đúng

Các nhà Toán học nhận xét thế nào về chứng minh của Andrew Wiles?

Helen G. Grundman, giáo sư toán tại Byrn Mawr College, Glenn H. Stevens ở khoa toán tại Boston University cho biết:

“Vâng, các nhà toán học bằng lòng rằng FLT đã được chứng minh, Cách chứng minh của Andrew Wiles theo 

‘semistable modularity conjecture’ – phần mấu chốt của cách chứng minh của ông – đã được kiểm tra cẩn thận 

và thậm chí đơn giản hóa. Trước khi có chứng minh của Wiles, người ta đã biết FLT sẽ là một hệ quả của

 modularity conjecture, kết hợp nó với một định lý lớn khác theo Ken Ribet và dùng các ý tưởng mấu chốt từ 

Gerhard Frey và Jean-Pierre Serre …” 

“Vào mùa hè 1995, đã có một hội nghị lớn tổ chức tại Boston University để đi sâu vào chi tiết của bài chứng

 minh. 

Các chuyên gia trong mỗi lãnh vực liên quan đã có bài phát biểu giải thích nền tảng và nội dung công trình của 

Wiles và Taylor. Sau khi khảo sát bài chứng minh quá kỹ lưỡng đến như vậy, cộng đồng toán học cảm thấy thoải

 mái khi công nhận rằng nó đúng”

Hiện nay các nhà Toán học trên Thế giới điều công nhận chứng minh của Andrew Wiles đúng và quá hay, có lúc họ 

muốn lấy tên Giáo sư Wiles để đặt cho định lý sau cùng của Fermat là Fermat Wiles Theorem. 

Nhờ chứng minh nổi tiếng nầy, ông đã nhận được nhiều phần thưởng bằng hiện kim và medal rất giá trị của Quốc tế: 

“Wiles has received are the Wolf Prize and the MacArthur Fellowship”, silver plaque, the gold Fields Medal…

Tháng 1, 1998 ông đã nhận được phần thưởng 200,000 USD của Vua Faisal Bin Abdelaziz  Saudi Arabia

“Following the proof of the Fermat problem, Wiles won the Wolf Prize (1995–96).

British mathematician who proved Fermat's last theorem; in recognition he was awarded a special silver 

plaque—he was beyond the traditional age limit of 40 years for receiving the gold Fields Medal—

by the International Mathematical Union in 1998.”

Nhận xét thế nào của chúng ta về các nhà Toán học trên

Trong số các nhà Toán học có tham gia chứng minh FLT và có được những thành quả sơ khởi, chúng ta vô cùng khâm 

phục nữ Toán học Sophie Germain của Pháp quốc

Ở thời buổi Nữ giới bị o ép, xem nhẹ, không bình quyền với Nam giới, vậy mà bà Sophie Germain đã cố vượt qua bức 

tường ngăn cách đó, bà đã chứng minh đinh lý sau cùng của Fermat với n = 5 vô nghiệm, bà Sophie Germain cũng để 

lại cho đời sau nhiều phương pháp Toán học rất giá trị. 

Thấy người lại ngẫm đến ta, trên thế gian nầy không có người Phụ nữ nào đi vào lịch sử oai hùng, như bà Trưng bà Triệu. 

Trên lãnh vực Văn hóa có bà Đoàn Thị Điểm, bà Hồ Xuân Hương, bà Huyện Thanh Quan v.v…

Trong lãnh vực Khoa hoc, ngày nay có Nữ Khao học gia về chất nổ Dương Nguyệt Ánh  đã chế tạo ra trái bom 

nhiệt-áp (thermobaric) đầu tiên của Hoa Kỳ, đây là loại bom dùng để hủy diệt các hang động, địa đạo được dùng làm 

căn cứ chỉ huycủa phe Taliban và bọn khủng bố ở Afganitan. Hiện nay khoa học gia Dương Nguyệt Ánh cố vấn cho Ngũ 

Giác Đài, về việc phát minh ra các phương tiện kỹ thuật cao chống khủng bố. Nhưng số lương Nữ Khao học gia như

 vậy rất hiếm, và Nữ giới ít ai học môn Toán như bà Sophie Germain để làm rạng danh Nữ giới, như Khoa học gia Dương 

Nguyệt Ánh gần đây

Giá như quý vị Nữ lưu theo học môn Toán, để trở thành các Giáo sư toán của các cấp, Tiểu học, Trung học, Đại học

 và cao hơn…, sẽ làm tươi mát, bớt khô khan, làm nhẹ môn toán, từ đó sẽ có nhiều học sinh, sinh viên theo học môn toán. 

Không bao lâu chúng ta sẽ tạo được nhiều chất xám, từ đó làm nền tảng để phát triển kinh tế, khoa học, kỹ thuật, nông 

nghiệp và nhiều lãnh  vực khác, và xã hội sẽ thăng tiến nhanh…

Không cần phải có thông minh mới học toán, ông bà ta có câu “Cố công mài sắt có ngày nên kim” hoặc người Pháp 

có câu “Muốn là được”. Ngành Toán không mang kinh tế nhiều, như Y, Dược…Nhưng nó mang lại nhiều lợi ích cho quốc

 gia , Dân tộc 

Theo tôi thì Phụ nữ có nhiều khả năng học toán nhanh hơn, vì những lý do sau đây

·        Trực giác mạnh

·        Nhớ dai

·        Thứ tự, ngăn nắp

·        Để ý mọi sự việc xảy ra, dù nhỏ như sợi tóc…

Nam giới kém phụ nữ vì  

·        Chậm chạp

·        Hay quên

·        Không ngăn nắp, đụng đâu bỏ đấy

·        Xề xòa, it để ý sự việc chung quanh …

Trở lại vấn đề FLT, tôi mới giới thiệu sơ qua các nhà Toán hoc, nhất là thành quả về chứng minh của giáo sư Andrew 

Wiles, xin mời quý vị và các bạn trẻ vào đia chỉ sau đây

http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf 

 Để biết về chứng minh của Giáo sư Andrew Wiles khó đến đâu, đúng sai như thế nào ? Thật ra có hàng ngàn trang trên

 AMS Journal

 … Hỏi tức là có câu trả lời rồi, chưa đúng (?) hay nói khác đi là ông chưa chứng minh được FLT

   (Xin xem phần tiếp theo sẽ đăng trong số tới)

                                                         Thành thật cảm ơn quý vị và các bạn trẻ

                                                                                      Võ Văn Rân

(Tham khảo qua Internet mathsoft, sci.math, mathworld…)