Hơn 360 năm, Định lý sau cùng của FERMAT
(Fermat’s Last Theorem) đã gây sóng gió trên diễn đàn Toán học,
nay được xem như đã giải quyết xong, vấn đề còn lại là
“DIOPHANTINE EQUATIONS”, đã nhiều ngàn năm chưa có Phương pháp
chung nào để giải.
“DIOPHANTINE EQUATIONS” cũng là quan tâm lớn
của các nhà Toán học hiện nay, mỗi khi nói đến dạng phương trình
DIOPHANTUS nầy, ta nói hoài cũng không hết, càng nói càng hấp
dẫn, hấp dẫn đến nổi nhà toán học Hy lạp Diophantus of
Alexandria, đã dành cả cuộc đời để nghiên cứu những vấn đề tồn
tại từ 500 năm Trước Công Nguyên, người ta không biết nhiều về
tiểu sử của ông (sinh trong khoảng năm 200-214 và mất năm
284-298 AD) ông đã viết đến 13 quyên sách, thời gian dài bị thất
lạc, nay còn lại 6 cuốn, do đó các nhà Toán học đương thời gọi
ông là CHA đẻ của môn Số học (Arithmetica). Viết sách,
nghiên cứu, làm toán, làm thơ, phổ nhạc, hội họa v.v. …phải có
hứng thú, nếu không, thì không có thể làm được
“DIOPHANTINE EQUATIONS” đề tài gây nhiều
hướng thú, nên tôi đã bỏ nhiều công sức để tìm hiểu, sau khi đã
giải được “FERMAT’S LAST THEOREM” để các bạn trẻ cũng hứng thú
môn Toán nầy, nên tôi nói đi, nói lại nhiều lần, mong bà con
thông cảm cho.
Mời các bạn đọc qua các email của ba nhà Toán
học thuộc ba Quốc gia khác nhau: Korea, Italia và Anh Quốc, họ
là thành viên nhóm thảo luận về Khoa hoc-Toán “Newsgroups:
sci.math” . Email tuy đã lâu (Date: 13 Oct 1999 15:55:55 -0400),
nhưng đề tài thảo luận là phương trình Đa Ẩn Số, thuộc dạng
DIOPHANTUS còn nóng hổi sau đây:
“Diophantus
equation x^3 + y^3 = z^a ?”
Nhà Toán học người Korea email ngày “Date:
13 Oct 1999 15:55:55 -0400” chứ không phải tôi phịa ra, tóm lược
email:
“Would someone can help me about current status of the following
Diophantus equation ?
Is there any proof of the non-existence of solution for a
Diophantus equation x^3 + y^3 = z^p or
x^3 + y^p = z^3, when x, y, and z are all positive integers and
p is greater than 3 ?”
Qua ngày sau Nhà Toán học người Ý cũng thuộc
nhóm thảo luận về khoa học - toán “sci.math” trả lời và góp ý
như sau
“Ciao,
l'equazione di Diofanto di cui sopra ammette soluzioni:
X^3+Y^3 = Z^p
18^3+9^3 = 9^4
1458^3+729^3 =
243^4
201684^3+67228^3 = 9604^4
X^3+Y^p = Z^3
7^3 + 7^4 =
14^3
26^3 + 26^4 =
78^3
63^3+ 63^4 =
252^3
Solo solo
alcune soluzioni delle due equazioni, moltissime alter esistono
anche con p > 4
Ciao”
Ở đây chúng ta thấy Nhà Toán học Ý cho kết
quả với số mủ 3, 3, 4 và 3, 4, 3
Ông muốn có kết quả với p > 4, vậy các bạn có
thể tìm hộ không? Chắc là Nhà Toán học Ý đã có nhiều kết quả,
song chúng ta thử tìm kết quả, nếu có kèm theo Phương pháp để
các bạn trẻ cùng tìm cho vui
Kết quả Nhà Toán học người Ý rất hay và đúng,
nhưng Nhà Toán học Korea chưa đồng ý, lỗi là do Nhà Toán học
Korea đã thiếu một điều kiện quan trọng là GCD(x,y,z) = 1 nên
ông đã email lai như sau
“Oh ! I missed one conditional statement.
Is there any proof of the non-existence of solution for a
Diophantus equation
x^3 + y^3 = z^p or x^3 + y^p = z^3, when x, y, and x are all
positive integers,
p
is greater than 3, and gcd(x,y,z) = 1 ?
Thanks”.
Câu hỏi lần thứ hai của Nhà Toán học Korea có
liên quan đến dự đoán của nhà Tỷ Phú Andrew Beal ở
Dalast, Texas USA, được gọi là Beal’s Conjecture
có liên quan tới Fermat’s Last Theorem. Bạn nào
muốn có $100,000 USD do nhà Tỷ Phú Andrew Beal tặng, xài chơi
thì đây
“Beal's conjecture
is a
conjecture in
number theory
proposed by the
Texas billionaire and
mathematical
amateur
Andrew Beal.
While investigating
generalizations of
Fermat's last theorem
in
1993, Andrew Beal
formulated the following conjecture:
If
Ax
+ By = Cz
where
A, B,
C, x,
y and
z are positive integers with
x,y,z > 2 then
A, B,
and C must have a common
prime
factor”
Như trên chúng ta nói Fermat’s Last
Theorem đã được chứng minh, nói cách khác Beal’s
Conjecture cũng đã đúng, có nghĩa là:
“x^3
+ y^3 = z^p or x^3 + y^p = z^3, when x, y, and x are all
positive integers, p is greater than 3, and gcd(x,y,z) = 1”
vô nghiệm
Phương trình x^3 + y^3 = z^p or x^3 + y^p =
z^3 chỉ có nghiệm khi p ≤ 2.
Nhà Toán học người Anh có ý kiến như sau:
If p is divisible by 3 then there are obviously no non-trivial
integer solutions.
Otherwise p must be == q mod 3, where q = 1 or 2, and dividing
each term by (p-q)/3 we can consider rational solutions to X^3 +
Y^3 = Z^q.
For q = 2 we can assume X + Y, X^2 - X.Y + Y^2 = a, a.b^2
resp,
so (completing the square in the second) we see that X, Y are
roots
of T^2 - a.T + a.(a - b^2)/3 = 0. Then letting T = a.c, and
assuming a != 0, this quadratic becomes linear in a.
That gives a complete rational solution of X^3 + Y^3 = Z^2,
which should hopefully help with your integer problem.
Cheers
conjectured that there are _no_ solutions to the equation
x^3+y^3=z^n
in relatively prime integers x,y,z except for n=2 or less.
Phương pháp giải
phương Trình DIOPHANTUS có dạng x3 + y3 =
zp
Ví dụ
x3 +
y3 = z4
Chúng ta viết lại phương trình trên
x3 +
y3 = z
·
z3
Đến đây gợi lại cho ta nhớ lại dạng “A
Generalized Fermat-Wiles Equation”
xn + yn = c
·
zn
ta đặt c = z
x3 + y3
= c
·
z3
công việc tiếp theo ta tìm giá trị của c
Phương pháp của nhà Toán học
Landau-Ramanujan Constant
“Let B(x) denote the number of positive
integers not exceeding x which can be expressed as a sum of two
squares. E. Landau and S. Ramanujan independently proved that:
Product taken over all primes congruent to 3
modulo 4
Landau further proved that
C-sequence
for n = 3
For the sake of economy, let us list
only the cube-free members of the c-sequence C corresponding to
n = 3. The c-sequence is homogeneous in the sense that c is in C
if and only if all cube-multiples of c are in C.
2, 6, 7, 9, 12, 13, 15, 17, 19, 20, 22,
26, 28, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 42, 43, 49, 50, 51, 53, 58, 61,
62, 63, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 75, 78, 79, 84, 85, 86, 87, 89,
90, 91, 92, 94, 97, 98, 103, 105, 106, 107, 110, 114, 115, 117,
123, 124, 126, 127, 130, 132, 133, 134, 139, 140, 141, 142, 143,
151, 153, 156, 157, 159, 161, 163, 164, 166, 169, 170, 171, 172,
177, 178, 179, 180, 182, 183, 186, 187, 193, 195, 197, 198, 201,
202, 203, 205, 206, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 217, 218,
219, 222, 223, 228, 229, 231, 233, 236, 238, 241, 244, 246, 247,
249, 251, 254, 258, 259, 265, 267, 269, 271, 273, 274, 275, 277,
278, 279, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 289, 294, 295, 301, 303,
305, 306, 308, 309, 310, 313, 314, 316, 319, 321, 322, 323, 325,
330, 331, 333, 335, 337, 339, 341, 342, 345, 346, 348, 349, 355,
356, 357, 358, 359, 363, 366, 367, 370, 372, 373, 377, 379, 380,
382, 385, 386, 387, 388, 390, 391, 393, 394, 395, 396, 397, 399,
402, 403, 407, 409, 411, 413, 414, 418, 420, 421, 422, 425, 427,
428, 429, 430, 431, 433, 435, 436, 438, 439, 441, 444, 445, 446,
447, 449, 450, 452, 453, 454, 457, 458, 460, 462, 463, 465, 466,
467, 468, 469, 474, 477, 481, 483, 484, 485, 490, 493, 494, 495,
497, 498, 499, ...
This is far as Selmer[2] performed his
calculations. Surely someone else has gone farther?
Selmer[2] additionally listed sample
solutions (x, y, z) for each of the above c-values; we give just
a few here:
|
c |
x |
y |
z |
|
2 |
1 |
1 |
1 |
|
6 |
37 |
17 |
21 |
|
7 |
2 |
-1 |
1 |
|
9 |
2 |
1 |
1 |
|
12 |
89 |
19 |
39 |
|
13 |
7 |
2 |
3 |
|
15 |
683 |
397 |
294 |
|
17 |
18 |
-1 |
7 |
|
19 |
3 |
-2 |
1 |
|
20 |
19 |
1 |
7 |
|
22 |
25469 |
17299 |
9954 |
|
26 |
3 |
-1 |
1 |
|
28 |
3 |
1 |
1 |
Sau khi đã có giá trị của c, nhà Toán học
Selmer dùng máy tính tìm các giá trị của x, y, z như ta đã thấy
bảng trên
Theo phương pháp của các nhà Toán học, phần
lớn các bạn trẻ, và những người có trình độ Bình dân như chúng
ta khó “nắm bắt”
Do đó tôi tìm một phương pháp bình dân để các
bạn trẻ và trình độ bình dân dể hiểu và có thể giải tất cả
phương trình dạng “A Generalized Fermat-Wiles Equation”
xn +
yn = c
·
zn ( n
∞ )
Phương pháp tìm c
Xin phép quý bà con cô bác cho tôi lộ bí mật
một chút, để các bạn trẻ dể nhớ, chứ phương pháp tìm c của các
nhà Toán học ở trên rất khó nhớ, muốn học thuộc lòng là cả một
vấn đề, còn phương pháp của tôi không cần hoc, chỉ cần năm, mươi
phút, đã hiểu rồi, các bạn muốn quên cũng không tài nào quên
được.
Tôi tên Rân vợ tên Sen và các Con
Viết gọn lại:
rn
+ sn = c ( n
∞
)
với mọi giá trị của r & s nguyên hoặc hửu tỷ,
(âm hoặc dương) để c là số nguyên
Phương pháp tìm c có vậy thôi!
Ví dụ: tìm giá trị của c khi n = 5, bằng
phương pháp của tôi, chúng ta dể dàng tìm lần lược các giá trị
của c như của GS David Wilson dưới đây không khó mấy
Trong internet chúng ta có bảng gía trị c với
n = 5 sau đây của Giáo sư David Wilson:
“2, 31, 33, 64, 211, 242, 244, 275, 486,
781, 992, 1023, 1025, 1056, 1267, 2048, 2101, 2882, 3093, 3124,
3126, 3157, 3368, 4149, 4651, 6250, 6752, 7533, 7744, 7775,
7777, 7808, 8019, 8800, 9031, 10901, 13682, 15552, 15783,
15961, 16564, 16775, 16806, 16808, 16839, 17050, 17831, 19932,
24583, 24992, 26281, 29643, 31744, 32525, 32736, 32767, 32769,
32800, 33011, 33614, 33792, 35893, 40544, 40951, 42242, 49575,
51273, 55924, 58025, 58806, 59017, 59048, 59050, 59081, 59292,
60073, 61051, 62174, 65536, 66825, 67232,
68101,75856,83193, 87781, 91817, 92224, 96875, 98976, 99757,
99968, 99999,100001, 100032, 100243, 101024, 102002, 103125,
107776, 116807, 118098, 122461, 128283, 132768, 144244, 148832,
153275, 157926, 159049, 160027, 160808, 161019, 161050, 161052,
161083, 161294, 162075, 164176,
166531, 168827, 177858, 189783, 193819, …”
Ví dụ
r5
+ s5 = c
75
+ (-6)5 = 9031
45
+ 95 = 60073
….
Đến đây không thấy Nhà Toán học nào tìm tiếp
tuc giá trị của c với n = 6, 7, 8, 9, ….Với phương pháp đơn giản
trên bạn muốn tìm đến bao nhiêu cũng được
Muốn phương pháp có thể gọi công thức trên có
bài bản chút xíu, thì chứng minh chỉ mất năm, sáu dòng thôi
xn +
yn = c
·
zn
Nếu ta tìm được giá trị của x, y, z nguyên
nghiệm đúng phương trình trên, ở thời điểm n
ta có thể chia 2 vế cho zn (z ≠ 0)
xn / zn + yn
/ zn = c
(x/z)n
+ (y/z)n = c
(1)
Đặt r = x/z và s = y/z
Thay r và s vào (1) ta có
rn
+ sn = c
khi đã có c rồi thi giá trị của x, y sẽ là
x = r·z
y
= s·z
Cuối cùng ta có phương pháp Tổng quát để giải
các phương trình DIOPHANTUS có dạng
“A Generalized Fermat-Wiles
Equation”
xn +
yn = c
·
zn ( n →
∞
)
Với công thức
Coi thì rất đơn giản nhưng công thức trên có
thể dùng để giải “A Generalized Fermat-Wiles Equation”
có dạng xn + yn = c
·
zn
với mọi giá trị của n (n → ∞) rất dể, trong lúc các nhà Toán học
hàng đầu Thế giới phải khựng lại, vì chưa tìm ra phương pháp
nào, mà nếu có thì trình độ của các bạn trẻ và trình độ bình dân
như chúng tôi khó lòng học hỏi
Công thức trên cũng có thể giải “A
Generalized Fermat-Wiles Equation” mở rộng đến bao nhiêu
cũng được
x0n + x1n
+ x2n + . . . +xk-1n
= c · xkn
Các bạn dùng thử, nếu thấy sai, hoặc trục
trặc xin được học hỏi thêm, kính đa tạ
Trường hợp
ζ(s) = c
ζ(c) ≠ 0
Có thể giải được DIOPHANTINE EQUATIONS có
dạng
A· vm
+ B· xn + C· yp = D· zq
(1/m+1/n+1/p+1/q < 1)
rất tuyệt vời, nhưng các bạn trẻ chưa dùng
được, nên tôi chưa để vào công thức
Phương Trình
DIOPHANTUS có dạng
x3 + y3 =
zp
Nhà Toán học Italia đã tìm được 3 đáp số như
sau:
“Diophantus
equation x^3 + y^3 = z^p”
X^3+Y^3 = Z^p
18^3+9^3 = 9^4
1458^3+729^3 =
243^4
201684^3+67228^3 = 9604^4”
Làm thế nào tìm được giá trị của x, y, z với p = 4 của phương
trình
x3 + y3 =
z4
Áp dung phương pháp trên ta viết lại
x3 + y3 = z
·
z3
Đặt c = z rồi áp dụng công thức ta có
r3
+ s3 = c
Cho bất kỳ giá trị nào của r & s (e.g., r =
9, s = 12)
93
+ 123 = 2457 = z
Ta có phương trình x3
+ y3 = 2457·
z3
x = r·z = 9 x 2457 = 22113
y
= s·z
=
12 x 2457 = 29484
ta có:
221133
+ 294843 = 24574 =
36443545848801
Có vô số giá trị của r & s nên ta sẽ có vô số
giá trị x, y, z nghiệm đúng Phương trình trên
Tăng số mũ
Nếu phương trình chỉ có vậy thôi, ta sẽ đâm
chán vì có gì khó đâu ! Do đó chúng ta có thể tăng số mũ của
phương trình “ x3 + y3 =
z4” lên như
sau
x4 +
y4 =
z5
x5 +
y5 =
z6
x9 +
y9 =
z10
…..
Ta giải pt
x9 + y9 =
z10
Tương tự ta đặt c = z
Phương trình trên được viết lại
x9
+ y9 = z ·
z9
hay x9 + y9
= c·
z9
rồi áp dụng công thức tìm c trên ta có
rn + sn =
c
Cho bất kỳ giá trị nào của r & s (e.g., r =
13, s = 8)
139
+ 88 = 10738717101 = z
Ta có phương trình x9
+ y9 = 10738717101·
z9
x = r·z = 13 x 10738717101
= 139603322313
y = s·z
= 8 x 10738717101 =
85909736808
ta có:
1396033223139 +
859097368089 = 1073871710110 = 2.039501436128298430481917114472e+100
Tương tự như trên sẽ có vô số phương trình ta
muốn
Phương Trình
DIOPHANTUS có dạng
x3 + yp =
z3
X^3+Y^p =
Z^3
7^3 + 7^4 =
14^3
26^3 + 26^4
= 78^3
63^3+ 63^4 =
252^3
Từ phần nầy trở xuống tôi dành cho sự góp ý
của các bạn nhe
Tìm giá trị của x, y, z với p = 4 của phương
trình
x3 + y4 =
z3
Ví dụ
394023 + 35824 = 608943
= 225799776996984
…
Sau cùng nhà Toán
học người Ý hỏi P > 4 chưa thấy ai trả lời
Phương trình x3 + y3
=
zp
với p > 4
Các bạn tìm thử giá trị x, y, z của phương
trình
x3
+ y3 =
z5
x3 + y3
=
z7
….
Ví dụ
x3 + y3
= z5
658903113190003 + 2223798007016253 =
4078380255
= 1.1283363386927051992955049987847e+43
…..
x3
+ y3 = z7
9845788843 + 61536180253
= 156897
=
233973591228631078678949276729
…..
Phương trình x3 + yp =
z3
với p > 4
x3
+ y5 = z3
946634883 + 998565
= 22008814723
=
10776503234602751339266048
…..
Hoặc có số mũ lớn hơn như
x11
+ y17
= z11
1073695154299059811 + 3065965980117
= 1610542731448589711
=
1.8910141286587321621901688988339e+178
…...
Nhân mùa Giáng Sinh và Năm mới 2008 kính chúc
Quý vị và các bạn trẻ dồi dào sức khỏe, An Bình, Hanh Phúc
Kính
Võ Văn Rân
Tài liệu tham khảo: trên internet
On a Generalized Fermat-Wiles Equation
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/99/ferm_33n
Trở về Trang Chính
