Cách nay vài tuần, con trai tôi gọi điện thoại nói, có anh bạn là nghiên cứu sinh Toán, (PhD) gặp “vấn đề” mà các Giáo sư của anh nói, đây là vấn đề chưa giải quyết, mời bà con có quan tâm về Toán cùng tham gia, giải quyết cho vui, tuy toán nầy thuộc cổ điển, vấn đề đặt ra như sau

Gọi S là tổng số các số nguyên thứ tự, từ      1, 2, 3, 4, ….

Ví dụ:

S₁ = 1 + 2 = 3

S₂ = 1 + 2 + 3 = 6

S₃ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

S₄ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

….

Tổng n số hạng đầu của cấp số:

Nhà toán học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) tính tổng của 100 số tự nhiên đầu tiên là 5050 khi học tiểu học

Người ta không biết tổng các số nguyên nầy đến vô cực, còn đúng không ?

Chỉ có vậy thôi, nghe thì đơn giản, hồi đi học mình có học cấp số cộng, mà sai số ở đây là 1, nhưng lâu quá không nhớ cách chứng minh

Tổng quát ta có dãy số cộng với phương pháp như sau:

….

Tiếp tục thử với n = 4, n = 5, n = 6, ta thấy đúng, nhưng với những giá trị của n tiến đến vô cực người ta chưa biết có đúng hay không? Có lẽ đây là vấn đề được các nhà Toán học hiện nay đang quang tâm (?)

Do đó chúng ta thử tìm một phương pháp nào đó, để chứng minh phương pháp ở trên là đúng.

Thử hỏi tổng số các số nguyên thứ tự

S = 1 + 2 + 3 + ….. + (số nguyên thứ một tỷ lẽ một) bằng bao nhiêu (?) dĩ nhiên số nguyên thứ một tỷ lẽ một là “10⁹ + 1”

S = 1 + 2 + 3 + ….. + 10⁹ + 1 =  ?

Chả nhẻ ta ngồi mò mẫn cộng cho hết 10⁹ + 1, từ số nguyên đầu tiên, đến số nguyên 10⁹ + 1, nếu số nầy lớn đến hàng chục Trillion, Quadrillion, … cho đến vô cực, chúng ta không tài nào mò mẫn được. Đó là vấn đề đặt ra cho chúng ta, cho đến nay vẫn còn bỏ ngỏ

Thật ra đây là cấp số cộng mà Nhà Toán học Aristotle (384 – 322 Trước Công Nguyên) đã có phương pháp cho tổng dãy số nầy,  (Arithmetic Series)

Ta gọi:

           a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b, …., a+(n-1)b là những số nguyên đầu tiên

Chúng ta có thể tính tuần tự như sau

             n = 2

S = a + (a+b) =  2a + b = 1[2a + (1)b] = n/2[2a + (n-1)b]

             n = 3

S = a + (a+b) + (a+2b) = 3a + 3b = 3(a+b) = n/2[2a + (n-1)b]

             n = 4

S = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) = 4a + 6b = 2(2a+3b) = n/2[2a + (n-1)b]

             n = 5

S = a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+(a+4b) = 5a+10b = 5(a + 2b) = n/2[2a + (n-1)b]

Tổng quát:

S = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + … + a+(n-1)b

          S     =

                     a =1 và b = 2 và i à ∞

Công thức nầy với a=1, b=2, ta chỉ tính được những số lẻ đầu tiên (2k+1) gọi Tổng nầy là  S₁

Ví dụ: n = 5

S₁ = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b)

S₁ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Áp dụng công thức ta có

        S₁   =                                    

        S₁   =          5/2[2 + (5-1) 2] = 25                          

Còn Tổng các số chẳng (2k) đầu tiên, như 2, 4, 6, 8, …. với công thức trên ta không dùng được

Do đó, ta viết lại công thức trên như sau, để ta có thể dùng được cho Tổng số các số chẳng, với số đầu tiên là 2 (a = b = 2),

Tương tự như trên:

S₂ = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + … + a+(n-1)b

Tổng nầy là  S₂  chứng minh tương tự trên, thay a = b = 2, ta có  

       S₂   =                        

                          a =  b = 2, i à ∞

Ví dụ: n =8

S₂ = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + (a+5b) + (a+6b) + (a+7b)

S₂  =  2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 72

Áp dụng công thức S₂ ta có

                             S₂  = 8/2[(2x2) + (8-1)2] = 72

Một cách Tổng quát gọi S là tổng các số nguyên đầu tiên và N là số nguyên cuối cùng của dãy số cộng, ta có

                                        S   =   S₁   +    S₂  

Ví dụ

                                        S   =  1 + 2 + 3 + 4 + ….+ (N-1) + N

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28  = 406

Áp dụng công thức trên tính

                S  =  N(N+1)/2 = 28(28+1)/2 = 406

Ví dụ:  N = 39

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31 + 32 + 33 +34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39  = 780

Áp dụng công thức trên tính

                S  =  N(N+1)/2 = 39(39+1)/2 = 780

Tóm lại với công thức nầy ta chỉ dùng số 1 và 2, cho Tổng các số nguyên tự nhiên (N) đầu tiên đến N số nguyên tiếp theo, N có thể tiến đến vô cực, vẫn đúng (N the natural numbers {1, 2, 3, … ∞})

** Phương pháp tôi chứng minh trên lại đúng phương pháp Tiên nhân đã dùng với a = b =1:

                     a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b, …., a+(n-1)b

S = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + … + a+(n-1)b

Tổng quát

Công thức trên chỉ lệ thuộc vào Số nguyên N cuối cùng của dãy số cộng, còn a = b = 1 không thay đổi, công thức trên cũng đúng cho mọi giá trị của N và N+1, (khi N lẻ thì N+1 là số chẳng và ngược lai, ta đã có 2 phương pháp S₁ và S₂) nên N tiến đến vô cực vẫn đúng

                                                                        Võ Văn Rân

Trở về Trang Chính