Kính chào quý bà con cô bác

Lâu quá không có bài gởi lên Khoa học chấm net, để bà con cùng đọc cho vui, vì bận viết cho xong quyển “TOÁN HỌC BÌNH DÂN”, nay đã tạm xong về bản thảo và bản quyền, nên trở lại tâm sự với bà con

Ngược dòng lịch sử, chúng ta không thể, không quảng bá và phát huy tinh thần cao đẹp của văn hóa Bình dân Việt nam, Tiền nhân ta đã dày công xây dắp từ đời nầy qua đời khác, như thơ văn, ca dao, tục ngữ…các Văn nhân, Nghệ sỹ có công, ghi chép, biểu diễn, truyền đạt trong dân gian thật tuyệt vời, cũng trong tinh thần đó tôi xin trinh bày một khía cạnh nhỏ thuộc về Toán học Bình dân, không thể thiếu trong mọi sinh hoạt, xã hội thời xa xưa của Tiền nhân, rất mong bà con cô bác đóng gốp, cho thêm phần phong phú.

Mỗi Quốc gia, mỗi Dân tộc đều có một nền văn minh riêng của họ, gần đây các nhà khảo cổ đã tìm thấy những khúc xương hóa đá có niên đại từ bốn chục ngàn, đến ba chục ngàn năm trước Công nguyên (40.000 – 30.000) trong vùng núi Phi châu, trên những khúc xương hóa đá nầy, các nhà khảo cổ đã tìm thấy những ghi chép của người xưa. Họ đã biết dùng các số để ghi LỊCH hoặc đánh số các con vật đã săn bắt được, những dấu vết khắc trên xương làm điên đầu các nhà Toán học, nhưng rồi họ cũng đồng ý với nhau bằng những con số, như sơ đồ minh hoa dưới đây

Nhìn sơ đồ trên, ta thấy cột bên trái gồm có 4 cặp số “11, 13, 17, và 19” đây là 4 cặp số nguyên tố (Prime number),

Nhân đây tôi xin nói thêm về số nguyên tố, để các bạn trẻ chưa học về số nguyên tố cũng biết sơ qua: số nguyên tố là số chỉ chia đúng cho 1 và chính nó, đồng thời sự phân bổ các số nầy trên trục số rất phức tạp.

Ví dụ bảng số nguyên tố từ 1 – 1000 dưới đây, nó không có nguyên tắc nào cả:   

      “ 2       3        5        7      11      13     17      19       23      29 

       31     37      41      43      47      53     59       61      67      71 

       73     79      83      89      97    101    103    107    109    113 

    127    131    137    139    149    151    157    163    167    173 

    179    181    191    193    197    199    211    223    227    229 

    233    239    241    251    257    263    269    271    277    281 

    283    293    307    311    313    317    331    337    347    349 

    353    359    367    373    379    383    389    397    401    409 

    419    421    431    433    439    443    449    457    461    463 

    467    479    487    491    499    503    509    521    523    541 

    547    557    563    569    571    577    587    593    599    601 

    607    613    617    619    631    641    643    647    653    659 

    661    673    677    683    691    701    709    719    727    733 

    739    743    751    757    761    769    773    787    797    809 

    811    821    823    827    829    839    853    857    859    863 

    877    881    883    887    907    911    919    929    937    941 

    947    953    967    971    977    983    991    997   …”

Người ta văn minh đến như vậy, biết dùng Toán từ ngàn xưa, nhất là biết các con số nguyên tố, đến nay các nhà Toán học cũng chưa biết cách phân bố các số nguyên tố trên trục số như thế nào ? nói tóm lại bài toán còn bỏ ngỏ.

Năm 2000, Hội nghị Toán học tại College de France có đưa ra 7 vấn đề tồn tại của Thiên niên kỷ, Riemann Hypothesis là một trong 7 vấn đề đó, nói về cách phân bổ số nguyên tố trên truc số, có kèm theo 7 triệu USD (1Vấn đề/1 triệu) Bà con nào muốn có 1 triệu xài chơi, thì đây là bài toán chưa có câu trả lời

                                        Riemann Hypothesis

“Some numbers have the special property that they cannot be expressed as the product of two smaller numbers, e.g., 2, 3, 5, 7, etc. Such numbers are called prime numbers, and they play an important role, both in pure mathematics and its applications. The distribution of such prime numbers among all natural numbers does not follow any regular pattern, however the German mathematician G.F.B. Riemann (1826 - 1866) observed that the frequency of prime numbers is very closely related to the behavior of an elaborate function

    ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ...

called the Riemann Zeta function. The Riemann hypothesis asserts that all interesting solutions of the equation

    ζ(s) = 0

lie on a certain vertical straight line. This has been checked for the first 1,500,000,000 solutions. A proof that it is true for every interesting solution would shed light on many of the mysteries surrounding the distribution of prime numbers.”

Thấy người mà ngẫm đến ta, Tiền nhân ta có biết gì về những con số khá đặt biệt nầy không (số nguyên tố)? Xin thưa Tiền nhân ta không thua kém gì các thợ săn thời cỗ đại ở Phi châu, họ biết dùng số nguyên tố, để đánh số các con vật mà họ săn bắt được, hoặc làm lịch để biết thời gian

Thì bên Phương Đông Tiền nhân ta cũng biết dùng số nguyên tố để đặc tên cho Giang Sơn gấm vóc của Việt nam ngày nay (sông núi Việt nam),  Nhị hà, Ba vì, ở Miền bắc, Ngủ hoành sơn (5 cụm núi quê hương) ở Miền trung và Thất sơn ở Miền nam. Bà con thấy chưa, các số “2, 3, 5, 7” là 4 số nguyên tố đầu tiên của dãy số nguyên tố, rồi mới tới “11, 13, 17, 19” bà con nhận xét xem, bên ta có 4 số nguyên tố thì bên Phi châu cũng có 4 số nguyên tố tiếp theo ta, như vậy Tiền nhân ta là Sư Tổ về số Nguyên Tố, Bravo Tiền nhân, ta vô cùng hảnh diện về sự đóng góp trên

Có hơi lạ, Tiền nhân ta và Tiền nhân Phi châu gặp nhau ở con số 9 (9 không phải số nguyên tố) số 9 ở cột phải của khúc xương, còn ta là Cửu Long, ở dưới cùng của đất nước Việt nam, có lẻ Long là Rồng tương trưng cho con Rồng cháu Tiên cho Dân tộc Việt nam, còn Cửu là 9 và 9 là số lớn nhất của hàng đơn vị  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, & 9 vậy số 9 tượng trưng cấp cao, lảnh đạo của một nước

Chín tầng gươm báo trao tay

Nửa đêm truyền hịch đợi ngày xuất chinh

Đồng thời Cửu long cũng xát định vị trí địa dư của “Tổ Tiên ta xưa kia” kéo dài từ thượng nguồn sông Cửu Long, đến tận mủi Cà mau (nếu sai thì bà con sửa lại cho, đây chỉ là ý nghỉ riêng của tôi, xin đa tạ)

Đến thế kỷ XXI nầy các nhà Toán học mới tìm được số nguyên tố lớn nhất là:   “2^32,582,657-1”  còn gọi là số thứ 44^th, nếu triển khai ra thì số nầy có 9.808.358 chữ số (digit) bà con cứ nghỉ xem một con số dài trên 19 ^km 6 (viết nhỏ như thế này cứ 5 chữ số như “9.808” ta đo thử hơn 10ly, bình quân 1 chữ số 2ly quý vị tính rợ sẽ thấy hơn 19 cây số sáu),

Nếu có con số nào viết bình thường dài cở 1met thì ta hết biết cách đọc rồi, huống hồ một con số dài tới 19 cây số sáu, hết biết luôn

Các nhà Toán hoc chưa dừng lại ở con số nầy, mà họ còn tìm con số thứ 45^th, 46^th, 47^th …

“On September 4, 2006, in the same room just a few feet away from their last find, Dr. Curtis Cooper and Dr. Steven Boone's CMSU team broke their own world record, discovering the 44th known Mersenne prime, 2^32,582,657-1. The new prime at 9,808,358 digits is 650,000 digits larger than their previous record prime found last December. However, the new prime falls short of the 10 million digits required for GIMPS to claim the Electronic Frontier Foundation $100,000 award”

Bà con muốn biết các nhà Toán học làm việc khó khăn như thế nào để có những thành quả trên

“Dr. Cooper joined GIMPS over 7 years ago with colleague Dr. Vince Edmondson. Edmondson was instrumental in the campus-wide effort until he passed away in 2003. Cooper, Boone, and CMSU truly earned this discovery, diligently coordinating over 700 PCs!

For more information on this prime discovery read the full press release.

                                                                                                  ….”

Các nhà khảo cổ cũng tìm thấy những bài toán cổ xưa nhất trong bản cỏ chỉ Rhind như bài toán về Tài sản của một gia đình Nông dân

Tài sản

Nhà                                 7

Mèo                               49

Chuột                           343

Ngọn lúa mì               2401 

Số đo đất                  16807

_______________________

                                  19607

  Ta có nhận định đây là một tập hợp của 7 lũy thừa 1, 2, 3, 4 & 5 (7¹, 7², 7³, 7⁴, 7⁵) và con số dưới 19607 là tổng của các số trên

Về sau nầy các nhà Toán học, Sử học cho rằng loại toán nầy rất phổ biến thời trung cổ như bài toán sau đây

Đi Rome

Bảy bà cụ trên đường đi Rome

Mỗi bà có 7 con la

Trên lưng mỗi con la có 7 cái túi

Mỗi túi có 7 ổ bánh mì

Kèm theo mỗi ổ bánh mì là 7 con dao

Mỗi con dao nằm trong 7 cái vỏ

Bà già, con la, túi, bánh mì, dao và vỏ

Tất cả là bao nhiêu trên đường đi Rome

Theo tài liệu trong Thư viện cũng như trên internet những bài toán trên thuộc thời Cổ đại ở Trung Đông và phương Tây, xem ra không khó, nhưng rất quý vì các nhà khảo cổ đã tìm gặp trong những cổ vật mà người xưa để lại

Quay về Phương Đông, một lần nữa ta tự hỏi, Tiền nhân ta có bài toán nào ở cùng thời kỳ Cổ đại nầy không ? Xin thưa rằng: Có

Cứ dựa vào bài toán trên ta thấy có “nhà, mèo, lúa mì và số đo…. đất”

Như vậy bài toán nầy có từ thời kỳ con người đã định cư, biết chăn nuôi, biết đo đạt, biết trồng cây lúa mì,

Các Cụ khi định cư, lúc trà dư tưởi hậu cũng mang Toán ra đố nhau cho vui

100 trâu ăn 100 bó cỏ

Trâu đứng ăn 5

Trâu nằm ăn 3

5 trâu con ăn 1

Hỏi mỗi thứ mấy con

Hoặc

100 trâu ăn 100 bó cỏ

Trâu đứng ăn 5

Trâu nằm ăn 3

7 trâu quèn ăn 3

Hỏi mỗi thứ mấy con

Hai bài toán nầy có lẻ đương thời với bài toán “tài sản” trên, vì ông bà ta đã đinh cư, biết chăn nuôi trâu bò, trâu ở đây là trâu nuôi chứ không phải trâu rừng, vì không ai điên gì cắt cỏ, mang vào rừng cho trâu rừng ăn…

Ta chỉ nói đương thời, chứ thật ra có thể có trước vì đây là bài toán bậc nhất, rồi mới tới bậc 2, bậc 3… từ từ lên, chứ không ngược lại, nhảy từ trên xuống

Trở lại ca dao tục ngử để tìm hiểu những khía cạnh thơ văn, toán học được truyền lại, thì ta thấy có những ca dao tục ngữ trữ tình hoặc vui …

Thơ vui

Thế gian một vợ một chồng

Chẳng như vua bếp hai ông một bà

…

Hăm ba ông táo dạo chơi xuân

Đội mũ mang hia chẳng mặc quần

Thượng đế hỏi rằng sao chướng vậy

Tâu rằng: Hạ giới nó chơi ngông

Chợ miền quê

Anh về hái đậu trẩy cà

Để em đi chợ kẻo mà lỡ phiên

Chợ lỡ phiên tốn công thiệt của

Miệng tiếng người cười rỡ sao nên

Lấy chồng phải gánh giang sơn

Chợ phiên còn lỡ, giang sơn còn gì ? .

Trong thơ văn có những bài toán được truyền lại vô cùng giá trị, lúc nhỏ tôi được Mẹ ru ngủ băng những bài toán nghe rất mùi tai:

Đi chợ phiên

Em đi chợ phiên

Cho gởi một tiền

Mua cam cùng quýt

Món ít, món nhiều

Mua đủ một trăm

Cam ba đồng một

Quýt một đồng năm

Thanh yên tươi tốt

Năm đồng một trái…

Bài toán  “đi chợ phiên” có lẻ cùng thời với bài toán “đi Rome” thời kỳ buôn bán đã thịnh hành, biết dùng tiền để mua bán, còn nói đến Rome là nói đến thời kỳ cực thịnh sau Công nguyên, “đường nào cũng về La mã”

Bài Phong giao của Hoàng Ngọc Liên

Một quan tiền tốt mang đi,
Nàng mua những gì mà tính chẳng ra?
Thoạt tiên mua ba tiền gà,
Tiền rưỡi gạo nếp với ba đồng trầụ
Trở lại mua sáu đồng cau,
Tiền rưỡi miếng thịt, giá rau mười đồng.
Có gì mà tính chẳng thôn
Tiền rưỡi gạo tẻ, sáu đồng trà tươị
Ba mươi đồng rượu, chàng ơi,
Ba mươi đồng mật, hai mươi đồng "vàng".
Hai chén nước mắm rõ ràng,
Hai bảy mười bốn kẻo chàng hồ nghị
Hăm mốt đồng bột nấu chè,
Mười đồng nải chuối, chẵn thì Một Quan!
                             (Phong Dao)

 

Tam sao thất bản, nhưng ở đây không phải ba sao, bốn sao, hay năm sao mà là triệu sao trở lên…, nên có người đọc là thế nầy, người đọc thế khác, nếu có gì không đúng mong bà con thông cảm bỏ qua cho, nhưng chung quy tôi muốn nêu lên bài toán của các cụ bà ngày xưa, tính toán sao cho vừa đủ số tiền mang ra chợ, không yêu cầu phải dư hay thiếu và vật dụng mua cũng không cần phải dư, hoặc thiếu.

Đã nhờ người ta mua giùm, mà còn bày đặt khó khăn, vậy mà các Cụ bà ngày xưa vẫn vui vẻ nhận lời, nếu như ngày nay có ai gởi như vậy, chắc các bà chị sẽ từ chối ngay cho khỏi nhức đầu.

Nhờ các anh chị tính xem với một tiền (60 đồng) mua được bao nhiêu Cam, Quýt, Thanh yên, cộng lại đủ trăm quả

Xem ra các bài toán của Tiền nhân ta rất khó, chứ không dể như bài toán ở Trung Đông, hay Phương Tây trên, thế mới biết Tiền nhân ta vô cùng giỏi toán, mong các bạn trẻ hãy lấy đó làm hảnh diện, các bạn trẻ thấy không ? các nhà Toán học phải bỏ nhiều công sức với năm, bảy trăm máy điện toán hiện đại để tìm các số nguyên tố lớn trên, những con số đó không biết để làm gì  vậy mà họ không nản, các bạn phải kiên trì như họ mới thành công.

Rất tiếc loại Toán mà Tiền nhân đã để lại quá hiếm hoi, nên tôi mạo mụôi dựa vào những bài toán trên, để viết ra hàng ngàn bài toán có kèm theo phương pháp riêng (công thức), cho toán học Bình dân thêm phong phú.

Tiền nhân ta đã xử dụng thành thạo loại phương trình bậc nhất có hai ẩn số, chúng ta thì chưa học tới, mà muốn học cũng chưa có để học, các nhà Toán học gọi loại Phương trình nầy là “DIOPHANTNE EQUATIONS” Họ đã bỏ ra bao nhiêu công sức, tìm phương pháp chung để giải, nhưng chưa có.

Nhân đây tôi xin giới thiệu đến bà con cô bác một bài toán đã giải, nếu có gì không đúng, xin bà con chỉ giáo cho, dưới đây mới là toán một sao (*) chứ chưa phải toán ba sao (***)

*) Một trại nuôi gà công nghiêp khoảng 40.000 con,

gồm 4 loại: Gà đẻ, gà thịt 8 tuần tuổi,

gà choai choai 6 tuần tuổi và gà con 4 tuần tuổi

Nếu ta lũy thừa 3 tất cả 4 loại gà trên , rồi cộng gà thịt, gà choai choai,  gà con, tương đương tích số 1197 với gà đẻ

Hỏi mỗi loại gà có bao nhiêu con ? và số gà chính xác của trại ?

                                              Giải      

Ta gọi

       A   =    số gà thịt 8 tuần tuổi

       B   =    số gà choai 6 tuần tuổi

       C   =    số gà con 4 tuần tuổi

       D   =    số gà đẻ

Theo đề bài toán ta có

                 F₁(s)      =    A + B + C + D  ≈  40.000 ± δ

Và            F₂(s)      =        A³ + B³ + C³  ≡  1197 •D³

Áp dụng công thức với n = 3

Và  ζ(s) mở rộng

               ζ(s) = d và ζ(d) = 0, ta biết giá trị của d = 1197

                  ζ(s) = r³ + s³ + t³ =  d = 1197

Dùng máy tính để tìm giá trị của r, s, t ta có

                  ζ(s) = 5³ + 7³ + 9³ =   1197

Các giá trị của A, B, C, tính theo D phương pháp sau

                                        A   =   r · D

                                        B   =   s · D

                                        C   =   t · D

Thay các giá trị của r, s, t, vừa tìm vào

                                        A   =   r· D

                                        A   =   5·D

                                        B   =   s· D

                                        B   =   7·D

                                        C   =   t · D

                                        C   =   9· D

Giá trị của D được tìm theo phương pháp sau đây

                                       D   ≈   (40.000 ± δ)/22

                                       D   ≈   1818.1818…

Sau khi trừ số lẻ 0.1818… (vì gà không lẻ, và 40,000 không phải chính số)

Ta chọn được giá trị của nguyên D = 1818 thay giá trị của D mới tìm

                                A = 5·D = 5·1818   =    9090

                                B = 7·D = 7 ·1818  =   12726

                                C = 9·D = 9 ·1818  =   16362

Thay các giá trị nầy vào F₁(s)   và   F₂(s) thử lại để biết đây có phải là đáp số của bài toán không ?    

            F₁(s)      =      A + B + C + D  ≈   40.000 ± δ

                  =  9090 + 12726 + 16362 + 1818 ≡ 39996

        Và            F₂(s)      =        A³ + B³ + C³  ≡  1197 •D³

         F₂(s)      =    9090³ + 12726³ + 16362³  ≡  1197·1818³

                                                                        ≡  7192432372104

Đáp số nầy ta nhận được vì nó thỏa mảng cho phương trình F₂(s) và đối với F₁(s) chỉ kém có 4 con  

Đáp số :

       A   =    số gà thịt 8 tuần tuổi:              9090

       B   =    số gà choai 6 tuần tuổi:         12726

       C   =    số gà con 4 tuần tuổi:            16362

       D   =    số gà đẻ:                               1818

        Tổng số gà của trại là                       39996

                                   ~~~~~~////~~~~~~

Đọc bài này bà con thấy không có gì khó, vì nó rất Bình dân, chứ không nhiêu khê như người ta tưởng, có bài toán nầy các bạn trẻ làm thử

*)Trâu bầy trên dưới ngàn con

Con đi con đứng, có con nằm

Lũy thừa ba thứ lên năm

Cộng chung trâu đứng, trâu nằm(1)

Tương đương tích số 275 với trâu đi (1)

Tính xem mỗi thứ mấy con ?

(1) đã lũy thừa 5

Nhân mùa lễ Vu Lan kính chúc bà con cô bác An bình, Hạnh phúc bên mái ấm gia đình

                                                                         Kính

                                                              ND  Võ Văn Rân

Trở về Trang Chính